欧拉公式推导全过程如下：
不论是高等数学还是大学物理，欧拉公式都如影随形。因为其重要性和划时代意义 ，EulerFormula(欧拉公式)有着很多了不起的别称 ，例如“上帝公式” 、“最伟大的数学公式 ” 、“数学家的宝藏 ”等等 。
欧拉公式三种形式分别是：分式里的欧拉公式=a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)，复变函数论里的欧拉公式为e^ix=cosx+isinx ，三角形中的欧拉公式为d＾2=R＾2-2Rr 。
把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式 ，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数 ，建立了三角函数和指数函数的关系 ，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位 ，更被誉为“数学中的天桥” 。
复变函数论中的欧拉公式证明：
1、当R=2时 ，由说明这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点 ”将赤道分成两条“边界 ”，即R=2 ，V=2 ，E=2，于是R+V-E=2 ，欧拉定理成立 。
2 、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立 ，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y ，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后 ，地图上只有m个区域了 。
3 、在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点 ，则该顶点保留 ，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点 ，该顶点两边的两条边界便成为一条边界 。
欧拉定理
欧拉公式展开式：e^ix=cos(x)+isin(x)。
欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义 。复变函数中 ，e^(ix)=(cosx+isinx)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位 。
拓扑学中 ，在任何一个规则球面地图上 ，用R记区域个数，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则R+V-E=2，这就是欧拉定理 ，它于1640年由笛卡尔首先给出证明 ，后来欧拉于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其为笛卡尔定理。
复变函数：
把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式 ，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数 ，建立了三角函数和指数函数的关系 ，它不仅是出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥” 。
拓扑学证明：
即在去掉X和Y之间的边界时,不论何种情况都必定有“减少的区域数+减少的顶点数=减少的边界数 ”我们将上述过程反过来(即将X和Y之间去掉的边界又照原样画上) 。
就又成为R=m+1的地图了 ，在这一过程中必然是“增加的区域数+增加的顶点数=增加的边界数 ”。
从多面体去掉一面 ，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络 。不失一般性 ，可以假设变形的边继续保持为直线段 。
正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是 ，点，边和面的个数保持不变 ，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部 。
分类: 教育/科学 >> 科学技术
问题描述:
关于三角形重心垂心外心的
解析:
模p运算
给定一个正整数p ，任意一个整数n，一定存在等式
n = kp + r
其中k、r是整数 ，且 0 ≤ r < p ，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数 。
对于正整数p和整数a,b ，定义如下运算：
取模运算：a mod p 表示a除以p的余数。
模p加法：(a + b) mod p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r ，则 (a+b) mod p = r 。
模p减法：(a-b) mod p ，其结果是a-b算术差除以p的余数 。
模p乘法：(a × b) mod p，其结果是 a × b算术乘法除以p的余数。
可以发现,模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律 ，如： 规律 公式
结合率 ((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p
交换率 (a + b) mod p = (b+a) mod p
(a × b) mod p = (b × a) mod p
分配率 ((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p
简单的证明其中第一个公式：
((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p
假设
a = k1 p + r1
b = k2 p + r2
c = k3 p + r3
a+b = (k1 + k2) p + (r1 + r2)
如果(r1 + r2) >= p ，则
(a+b) mod p = (r1 + r2) -p
否则
(a+b) mod p = (r1 + r2)
再和c进行模p和运算，得到
结果为 r1 ＋ r2 + r3的算术和除以p的余数 。
对右侧进行计算可以得到同样的结果 ，得证 。
模p相等
如果两个数a 、b满足a mod p = b mod p ，则称他们模p相等，记做
a ≡ b mod p
可以证明 ，此时a 、b满足 a = kp + b ，其中k是某个整数。
对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。在四则运算中 ，如果c是一个非0整数 ，则
ac = bc 可以得出 a =b
但是在模p运算中，这种关系不存在，例如：
(3 x 3) mod 9 = 0
(6 x 3) mod 9 = 0
但是
3 mod 9 = 3
6 mod 9 =6
定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝ 1 ，则 ac ≡ bc mod p 可以推出 a ≡ b mod p
证明：
因为ac ≡ bc mod p
所以ac = bc + kp ，也就是c(a-b) = kp
因为c和p没有除1以外的公因子，因此上式要成立必须满足下面两个条件中的一个
1) c能整除k
2) a = b
如果2不成立 ，则c|kp
因为c和p没有公因子 ，因此显然c|k，所以k = ck'
因此c(a-b)kp可以表示为c(a-b) =ck'p
因此a-b = k'p ，得出a ≡ b mod p
如果a = b ，则a ≡ b mod p 显然成立
得证
欧拉函数
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n ，小于n且和n互质的正整数的个数 ，记做：φ(n)，其中φ(1)被定义为1 ，但是并没有任何实质的意义 。
定义小于n且和n互质的数构成的 *** 为Zn ，称呼这个 *** 为n的完全余数 *** 。
显然，对于素数p，φ(p)= p -1.对于两个素数p、q ，他们的乘积n = pq 满足φ(n) =(p-1)(q-1)
证明：对于质数p,q ，满足φ(n) =(p-1)(q-1)
考虑n的完全余数集Zn = { 1,2,....,pq -1}
而不和n互质的 *** 由下面三个 *** 的并构成：
1) 能够被p整除的 *** {p,2p,3p,....,(q-1)p} 共计q-1个
2) 能够被q整除的 *** {q,2q,3q,....,(p-1)q} 共计p-1个
3) {0}
很显然，1 、2 *** 中没有共同的元素 ，因此Zn中元素个数 ＝ pq - (p-1 + q- 1 + 1) = (p-1)(q-1)
欧拉定理
对于互质的整数a和n ，有aφ(n) ≡ 1 mod n
证明：
首先证明下面这个命题：
对于 *** Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑 ***
S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}
则S = Zn
1) 由于a,n互质 ，xi也与n互质 ，则axi也一定于p互质，因此
任意xi ，axi mod n 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj ，如果xi ≠ xj
则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a 、p互质和消去律可以得出。
所以 ，很明显 ，S=Zn
既然这样，那么
（ax1 × ax2×...×axφ(n)）mod n
= （ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n）mod n
= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
考虑上面等式左边和右边
左边等于(aφ(n) × （x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n) mod n
右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n
而x1 × x2 × ... × xφ(n)）mod n和p互质
根据消去律，可以从等式两边约去 ，就得到：
aφ(n) ≡ 1 mod n
推论：对于互质的数a、n ，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n
费马定理
a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1 ≡ 1 mod p
证明这个定理非常简单 ，由于φ(p) = p-1 ，代入欧拉定理即可证明 。
同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p
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本文概览：欧拉公式推导全过程如下：不论是高等数学还是大学物理，欧拉公式都如影随形。因为其重要性和划时代意义，EulerFormula(欧拉公式)有着很多了不起的别称，例如“上帝公式”、“...
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